Statische Berechnung

Einfache Berechnung

Nicht nach den neuesten Bauvorschriften. Die Berechnung soll zeigen, welche Faktoren das Ergebnis beeinflussen.

Schritt 1

Einen Einstieg in die Festigkeitslehre bietet die Berechnung eines Balkens, der bei A aus einer Wand ragt (siehe Abbildung). Damit der Balken unter Last nicht versagt, prüfen wir die durch die Last entstehenden Schub- und Biegespannungen (siehe unten) im am stärksten beanspruchten Querschnitt bei A, wo das Biegemoment am größten ist. Dieses Moment ist gleich der Kraft bzw. den Kräften multipliziert mit dem Abstand senkrecht zur Kraftrichtung.

Beispielabbildung zur Berechnung. 

M = F * a

• M = Biegemoment an der Einspannstelle
• F = Kraft (in Newton)
• a = kürzester Abstand der Wirkungslinie der Kraft zur Einspannung bei A

Eine Einspannung ist eine Lagerung, die an der Wand horizontale und vertikale Auflagerkräfte sowie ein Biegemoment ohne Verdrehung aufnehmen kann. Wird ein eingespannter, 2 m langer Balken am Ende durch eine nach unten gerichtete Kraft P = 2,0 kN belastet, so beträgt die vertikale Auflagerkraft V_AP in A (siehe Abbildung) aus dem Gleichgewicht 2,0 kN nach oben.

Das Eigengewicht (eine Linienlast q in kN/m) eines Balkens mit der gewählten Höhe h = 225 mm und der gewählten Breite b = 70 mm beträgt

q = 0,225 m * 0,07 m * 5 kN/m³ (Wichte)
q = 0,08 kN/m

Aus dem Gleichgewicht von q folgt
V_Aq = ql = 0,08 * 2 = 0,16 kN

Die gesamte vertikale Auflagerkraft bei A beträgt dann
V_A = V_AP + V_Aq = 2,16 kN

Infolge der vertikalen Auflagerkraft V_A entsteht im Querschnitt A eine vertikale Schubspannung von
τ_A = V_A/bh
τ_A = 2,160 N/(225 mm * 70 mm)
τ_A = 0,14 N/mm² < 0,8 N/mm² = 2,0 (Schubfestigkeit der üblichen Festigkeitsklasse C18) * 0,7 (Beiwert für Außenklima und Lasteinwirkungsdauer) / {1,35 (Teilsicherheitsbeiwert der Einwirkung) *1,3 (Materialbeiwert)}

Da die Schubspannung kleiner als die abgeminderte Schubfestigkeit ist, ist der Schubnachweis dieser Konstruktion erfüllt.

Schritt 2

Das Biegemoment im am stärksten beanspruchten Querschnitt A infolge P beträgt:
M_AP = 2,0 kN * 2 m = 4,0 kNm

Das Moment aus Eigengewicht ergibt
M_Aq = ql (= Kraft infolge q) * 1/2 (= Schwerpunktabstand)
M_Aq = ql²/ 2 = 0,08 * 2²/ 2 = 0,16 kNm
M_A = M_AP + M_Aq = 4,16 kNm

Das Widerstandsmoment W³⁾ bestimmt die Spannungen σ in einem Querschnitt infolge eines Biegemoments M nach
σ = M/W

Hat der Balken über die gesamte Länge denselben rechteckigen Querschnitt, ist dieser Rechteckbalken prismatisch, und es gilt
W = bh²/ 6 = 70 * 225²/ 6 = 590.625 mm³

Am unteren und oberen Rand des Balkens (siehe Abbildung) entsteht dann eine horizontale Biegespannung
σ_A = 4,16 kNm/590.625 mm³ = 7,0 N/mm²
7,2 N/mm² = 18 (Biegefestigkeit C18) * 0,7 (Beiwert für Außenklima und Lasteinwirkungsdauer)/{1,3 (Materialbeiwert) * 1,35 (Teilsicherheitsbeiwert der Einwirkung)}

Da die Biegespannung kleiner als die abgeminderte Biegefestigkeit ist, ist der Biegenachweis dieser Konstruktion erfüllt.

Schritt 3

Wir prüfen auch die Durchbiegung des Balkens.
Bei einem eingespannten Balken beträgt die unmittelbare elastische Verformung
u_BP;elastisch in B: u_BP;elastisch = Pl³/ {3 E¹⁾ I²⁾} =
2000 N * 2000³ mm³/ { 3 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 8,9 mm

Bei einem eingespannten Balken erzeugt q die unmittelbare elastische Verformung
u_BP;elastisch = ql⁴/ { 8 EI } =
0,08 N/mm * 2000⁴ mm⁴/ { 8 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 0,3 mm
u_B;elastisch = 8,9 + 0,3 = 9,2 mm

Die Gesamtdurchbiegung des Balkens ist gleich der unmittelbaren elastischen Durchbiegung u_B;elastisch zuzüglich der zeitabhängigen Durchbiegung u_B;Kriechen

u_B;Kriechen = elastische Verformung infolge ständiger Last + 0,6 (Kriechbeiwert) * 0,4 (falls die veränderliche Last 40 % der Zeit vorhanden wäre) * die elastische Verformung infolge veränderlicher Last.
u_B;Kriechen = 0,3 + 0,6 * 0,4 * 8,9 = 2,4 mm

u_B;gesamt = 9,2 + 2,4 = 11,6 mm

u_B;sofort = die sofortige Durchbiegung in B infolge ständiger Last = u_Bq;elastisch = 0,3 mm

u_B;zus = u_B;gesamt – u_B;sofort

Anforderung A) u_B;zus = 11,6 – 0,3 = 11,3 mm < 12 mm = 0,006 * 2.000 mm = 0,006L = die Anforderung an die Zusatzdurchbiegung eines auskragenden, also eingespannten Trägers

Anforderung B) u_B;gesamt = 11,6 mm < 16 mm = 0,008 * 2000 = 0,008L

Da hier auch u_B;gesamt = 11,6 mm < 0,006 * 2.000 mm ist, ist gleichzeitig auch Anforderung A) erfüllt, sodass u_B;zus hier nicht hätte berechnet werden müssen.

Da die auftretenden Verformungen kleiner als die maximal zulässige Verformung sind, ist der Verformungsnachweis dieser Konstruktion erfüllt.

Fazit: Die Materialfestigkeit wird gut ausgenutzt; dadurch ist die Konstruktion wirtschaftlich.

¹⁾
E = Elastizitätsmodul = Spannung / [Dehnung = Verlängerung je Längeneinheit]. Bei der Festigkeitsklasse C18 ist E = 9.000 N/mm²

²⁾
I = Flächenträgheitsmoment = {∫∫z² dy dz mit z = Abstand zur Balkenmitte, Integrationsgrenzen für z h/2 und -h/2 und für y die Seitenränder } = bh³/ 12 bei rechteckigem Querschnitt, da dann ∫dy = b

³⁾
W = I / (h/2). Bei rechteckigem Querschnitt ergibt sich
W = bh³/ 12/ (h/ 2) = bh²/ 6.