Calcul de stabilité

Calcul simple

Ce calcul ne suit pas la réglementation la plus récente. Il sert à montrer quels facteurs influencent le calcul.

Étape 1

Vous pouvez découvrir la résistance des matériaux à travers le calcul d’une poutre qui sort d’un mur en A (voir figure). Pour éviter que la poutre ne rompe sous la charge, nous vérifions les contraintes de cisaillement et de flexion dues à la charge (voir ci-après) dans la section la plus sollicitée, en A, là où le moment de flexion est maximal. Ce moment est égal à la ou aux forces multipliées par la distance perpendiculaire à la direction de la force.

Figure d’exemple pour le calcul. 

M = F * a

• M = moment de flexion au droit de l’encastrement
• F = force (en newtons)
• a = distance minimale entre la ligne d’action de la force et l’encastrement en A

Un encastrement est une liaison qui peut reprendre au droit du mur des réactions horizontales et verticales ainsi qu’un moment de flexion, sans rotation. Si une poutre encastrée de 2 m de long est chargée à son extrémité par une force P = 2,0 kN dirigée vers le bas, la réaction verticale V_AP en A (voir figure) vaut, par équilibre, 2,0 kN vers le haut.

Le poids propre (une charge linéique q en kN/m) d’une poutre de hauteur choisie h = 225 mm et de largeur choisie b = 70 mm vaut

q = 0,225 m * 0,07 m * 5 kN/m³ (poids volumique)
q = 0,08 kN/m

L’équilibre de q donne
V_Aq = ql = 0,08 * 2 = 0,16 kN

La réaction verticale totale en A vaut alors
V_A = V_AP + V_Aq = 2,16 kN

Sous l’effet de la réaction verticale V_A il apparaît dans la section A une contrainte de cisaillement verticale de
τ_A = V_A/bh
τ_A = 2,160 N/(225 mm * 70 mm)
τ_A = 0,14 N/mm² < 0,8 N/mm² = 2,0 (résistance au cisaillement de la classe de bois courante C18) * 0,7 (coefficient pour climat extérieur et durée de chargement) / {1,35 (coefficient de charge) *1,3 (coefficient du matériau)}

La contrainte de cisaillement étant inférieure à la résistance au cisaillement corrigée, la structure est vérifiée au cisaillement.

Étape 2

Le moment de flexion dans la section A, la plus sollicitée, dû à P vaut :
M_AP = 2,0 kN * 2 m = 4,0 kNm

Le moment dû au poids propre donne
M_Aq = ql (= force due à q) * 1/2 (= distance au centre de gravité)
M_Aq = ql²/ 2 = 0,08 * 2²/ 2 = 0,16 kNm
M_A = M_AP + M_Aq = 4,16 kNm

Le module de flexion W³⁾ détermine les contraintes σ dans une section sous un moment de flexion M selon
σ = M/W

Si la poutre présente sur toute sa longueur la même section rectangulaire, cette poutre rectangulaire est prismatique et
W = bh²/ 6 = 70 * 225²/ 6 = 590 625 mm³

Aux fibres inférieure et supérieure de la poutre (voir figure), il y a alors une contrainte de flexion horizontale
σ_A = 4,16 kNm/590 625 mm³ = 7,0 N/mm²
7,2 N/mm² = 18 (résistance à la flexion C18) * 0,7 (coefficient pour climat extérieur et durée de chargement)/{1,3 (coefficient du matériau) * 1,35 (coefficient de charge)}

La contrainte de flexion étant inférieure à la résistance à la flexion corrigée, la structure est vérifiée en flexion.

Étape 3

Nous vérifions aussi la flèche de la poutre.
Pour une poutre encastrée, la déformation élastique instantanée
u_BP;elastisch en B : u_BP;elastisch = Pl³/ {3 E¹⁾ I²⁾} =
2000 N * 2000³ mm³/ { 3 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 8,9 mm

Pour une poutre encastrée, q provoque la déformation élastique instantanée
u_BP;elastisch = ql⁴/ { 8 EI } =
0,08 N/mm * 2000⁴ mm⁴/ { 8 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 0,3 mm
u_B;élastique = 8,9 + 0,3 = 9,2 mm

La flèche totale de la poutre est égale à la flèche élastique instantanée u_B;élastique augmentée de la flèche différée u_B;fluage

u_B;fluage = déformation élastique due à la charge permanente + 0,6 (coefficient de fluage) * 0,4 (si la charge variable était présente 40 % du temps) * la déformation élastique due à la charge variable.
u_B;fluage = 0,3 + 0,6 * 0,4 * 8,9 = 2,4 mm

u_B;total = 9,2 + 2,4 = 11,6 mm

u_B;inst = la flèche instantanée en B due à la charge permanente = u_{Bq;élastique} = 0,3 mm

u_B;add = u_B;total – u_B;inst

Exigence A) u_B;add = 11,6 – 0,3 = 11,3 mm < 12 mm = 0,006 * 2 000 mm = 0,006L = l’exigence de flèche additionnelle pour une poutre en console, donc encastrée

Exigence B) u_B;total = 11,6 mm < 16 mm = 0,008 * 2000 = 0,008L

Comme ici u_B;total = 11,6 mm < 0,006 * 2 000 mm, l’exigence A) est également satisfaite, de sorte que u_B;add n’aurait pas dû être calculée ici.

Les déformations étant inférieures à la déformation maximale admissible, la structure est vérifiée en déformation.

Conclusion : La résistance du matériau est bien exploitée : la structure est donc économique.

¹⁾
E = module d’élasticité = contrainte / [déformation = allongement par unité de longueur]. Pour la classe de bois C18, E = 9 000 N/mm²

²⁾
I = moment d’inertie = {∫∫z² dy dz avec z = distance au milieu de la poutre, bornes d’intégration h/2 et -h/2 pour z et les bords latéraux pour y } = bh³/ 12 pour une section rectangulaire, car alors ∫dy = b

³⁾
W = I / (h/2). Pour une section rectangulaire, on obtient
W = bh³/ 12/ (h/ 2) = bh²/ 6.