Stabiliteitsberekening

Eenvoudige berekening

Niet volgens de meest recente regelgeving. De berekening is bedoeld om te tonen welke factoren de berekening beïnvloeden.

Stap 1

U kunt kennismaken met de sterkteleer via de berekening van een balk die bij A uit een muur steekt (zie figuur). Om te vermijden dat de balk onder belasting bezwijkt, controleren wij de schuifspanningen en buigspanningen die de belasting veroorzaakt (zie verder) in de zwaarst belaste doorsnede bij A, waar het buigend moment het grootst is. Dit moment is gelijk aan de kracht(en) vermenigvuldigd met de afstand loodrecht op de richting van de kracht.

Voorbeeldfiguur bij de berekening. 

M = F * a

• M = buigend moment ter hoogte van de inklemming
• F = kracht (in newton)
• a = kortste afstand van de werklijn van de kracht tot de inklemming bij A

Een inklemming is een verbinding waarin horizontale en verticale reacties en een buigend moment zonder verdraaiing bij de muur opgenomen kunnen worden. Als een ingeklemde balk van 2 m lang aan het uiteinde belast wordt door een kracht P = 2,0 kN naar beneden, dan is de verticale reactie V_AP in A (zie figuur) wegens het evenwicht 2,0 kN omhoog.

Het eigen gewicht (een lijnlast q in kN/m) van een balk met een gekozen hoogte h = 225 mm en een gekozen breedte b = 70 mm is

q = 0,225 m * 0,07 m * 5 kN/m³ (soortelijk gewicht)
q = 0,08 kN/m

Uit het evenwicht van q volgt
V_Aq = ql = 0,08 * 2 = 0,16 kN

De totale verticale reactie bij A is dan
V_A = V_AP + V_Aq = 2,16 kN

Door de verticale reactie V_A ontstaat in doorsnede A een verticale schuifspanning van
τ_A = V_A/bh
τ_A = 2,160 N/(225 mm * 70 mm)
τ_A = 0,14 N/mm² < 0,8 N/mm² = 2,0 (schuifsterkte bij de gangbare houtsterkteklasse C18) * 0,7 (factor voor buitenklimaat en belastingsduur) / {1,35 (belastingsfactor) *1,3 (materiaalfactor)}

Omdat de schuifspanning kleiner is dan de gecorrigeerde schuifsterkte, voldoet deze constructie op afschuiving.

Stap 2

Het buigend moment in de zwaarst belaste doorsnede A ten gevolge van P wordt:
M_AP = 2,0 kN * 2 m = 4,0 kNm

Het moment ten gevolge van het eigen gewicht veroorzaakt
M_Aq = ql (= kracht ten gevolge van q) * 1/2 (= afstand tot het zwaartepunt)
M_Aq = ql²/ 2 = 0,08 * 2²/ 2 = 0,16 kNm
M_A = M_AP + M_Aq = 4,16 kNm

Het weerstandsmoment W³⁾ bepaalt de spanningen σ in een doorsnede ten gevolge van een buigend moment M volgens
σ = M/W

Heeft de balk over de hele lengte dezelfde rechthoekige doorsnede, dan is deze rechthoekige balk prismatisch en geldt
W = bh²/ 6 = 70 * 225²/ 6 = 590,625 mm³

Aan de onder- en bovenrand van de balk (zie figuur) is er dan een horizontale buigspanning
σ_A = 4,16 kNm/590.625 mm³ = 7,0 N/mm²
7,2 N/mm² = 18 (buigsterkte C18) * 0,7 (factor voor buitenklimaat en belastingsduur)/{1,3 (materiaalfactor) * 1,35 (belastingsfactor)}

Omdat de buigspanning kleiner is dan de gecorrigeerde buigsterkte, voldoet deze constructie op buiging.

Stap 3

Wij controleren ook de doorbuiging van de balk.
Bij een ingeklemde balk is de onmiddellijke elastische vervorming
u_BP;elastisch in B: u_BP;elastisch = Pl³/ {3 E¹⁾ I²⁾} =
2000 N * 2000³ mm³/ { 3 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 8,9 mm

Bij een ingeklemde balk veroorzaakt q de onmiddellijke elastische vervorming
u_BP;elastisch = ql⁴/ { 8 EI } =
0,08 N/mm * 2000⁴ mm⁴/ { 8 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 0,3 mm
u_B;elastisch = 8,9 + 0,3 = 9,2 mm

De totale doorbuiging van de balk is gelijk aan de onmiddellijke elastische doorbuiging u_B;elastisch vermeerderd met de tijdsafhankelijke doorbuiging u_B;kruip

u_B;kruip = elastische vervorming ten gevolge van de permanente belasting + 0,6 (kruipfactor) * 0,4 (als de veranderlijke belasting 40% van de tijd aanwezig zou zijn) * de elastische vervorming ten gevolge van de veranderlijke belasting.
u_B;kruip = 0,3 + 0,6 * 0,4 * 8,9 = 2,4 mm

u_B;totaal = 9,2 + 2,4 = 11,6 mm

u_B;onm = de onmiddellijke doorbuiging in B ten gevolge van de permanente belasting = u_Bq;elastisch = 0,3 mm

u_B;bijk = u_B;totaal – u_B;onm

Eis A) u_B;bijk = 11,6 – 0,3 = 11,3 mm < 12 mm = 0,006 * 2.000 mm = 0,006L = de eis voor de bijkomende doorbuiging van een uitkragende, dus ingeklemde ligger

Eis B) u_B;totaal = 11,6 mm < 16 mm = 0,008 * 2000 = 0,008L

Omdat hier ook u_B;totaal = 11,6 mm < 0,006 * 2.000 mm, is tegelijk ook aan eis A) voldaan, zodat u_B;bijk hier niet berekend had hoeven te worden.

Omdat de optredende vervormingen kleiner zijn dan de maximaal toelaatbare vervorming, voldoet deze constructie op vervorming.

Conclusie: De materiaalsterkte wordt goed benut; daardoor is de constructie economisch.

¹⁾
E = elasticiteitsmodulus = spanning / [rek = verlenging per lengte-eenheid]. Bij houtsterkteklasse C18 is E = 9.000 N/mm²

²⁾
I = traagheidsmoment = {∫∫z² dy dz met z = afstand tot het midden van de balk, integratiegrenzen voor z h/2 en -h/2 en voor y de zijranden } = bh³/ 12, als de doorsnede rechthoekig is, omdat dan ∫dy = b

³⁾
W = I / (h/2). Bij een rechthoekige doorsnede wordt dat
W = bh³/ 12/ (h/ 2) = bh²/ 6.